Matrici, determinanti e sistemi lineari

II calcolo matriciale e operatoriale generalizza alcune operazioni valide per i numeri ordinari, per i quali la più generale equazione lineare 'ax + b = 0' ha una soluzione ottenibile isolando banalmente l'unica incognita x. II termine 'lineare' ricorda che le variabili hanno esponente 1. Ciò, come si vedrà, ha come conseguenza che le operazioni che si eseguono sulla somma di oggetti sono uguali alla somma di tali operazioni sui singoli oggetti. Tra le numerosissime applicazioni matematiche del calcolo matriciale, una delle più comuni è quella che si vuole trattare in questo volume: la soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari. Ma le matrici e i determinanti ritornano spesso anche in molti problemi di analisi: il determinante 'hessiano' nello studio dei massimi e minimi di funzioni di più variabili e il determinante 'jacobiano' nel calcolo degli integrali multipli ne sono solo due esempi. Gli ingegneri usano i sistemi lineari nei calcoli connessi a telai e strutture; i fisici usano le matrici e gli operatori oltre che per questioni di puro calcolo, in problemi classici come la stabilità degli equilibri o i modi normali delle piccole oscillazioni e, in modo più intenso e sistematico da circa ottant'anni, nella meccanica quantistica. La teoria dei determinanti, da cui si sono poi generate le matrici e le applicazioni ai sistemi, si è invece sviluppata nel corso di interi secoli ad opera dei principali matematici: dagli antichi cinesi ai primi accenni di Leibniz alla fine del Seicento, poi Cramer, Mac Laurin, Laplace, Lagrange, Cauchy, Jacobi e soprattutto Cayley. In questo volume si tratteranno prevalentemente le definizioni e le principali proprietà delle matrici e dei determinanti per applicarle alla soluzione di sistemi lineari.